開關電容電路簡析

首先我們看第一種情況：一個恒壓源Vo給電容C充電

可以看到電壓源損失的能量是CVo^2， 而電容C上獲得的能量是0.5CVo^2，那么一半的能量在充電過程中損失了。如果我們假設開關是理想的，Ron=0，那么loss是那里產生的呢？有答案認為是電磁輻射發散出去的。我們知道，如果開關是理想的，在接通開關的一瞬間，開關上流過的電流是無窮大的，一個無窮大的電流流過Ron=0的開關，產生的loss其實是一個取極限的結果：。不管怎樣，我們知道了一個恒壓源Vo給電容C充電要有0.5CVo^2的loss.

第二種情況：一個電壓為Vo的巨大電容Cbig給一個電壓為V1的電容C充電（Vo>V1），使小電容電壓到Vo，我們仍然假設開關是理想的，Ron=0.

可以看到Cbig電容損失的能量是CVo(Vo-V1), 而C電容上獲得的能量是0.5C（Vo^2-V1^2）,充電過程中損失的loss是0.5*C（V0-V1）^2，所以，我們可以看到電壓不同的電容之間充電也會有loss的。

那么有些不死心的朋友要問了：有沒有情況下給電容充電是無損（lossless）的呢？答案是有的，我們來看第三種情況：一個電流源I給電容充電，把電容的電壓從V1提升到V0.

可以看到電流源I損失的能量等于電容上得到的能量等于0.5C（Vo^2-V1^2）,充電過程是無損的！

以上就是開關電容電路（switched capacitor converter）的loss雛形，那么我們為什么要費盡心思搞這個有loss的switched capacitor converter呢？這是因為在實際生活中，好電容易得，但好電感難求！尤其是在集成電路（integrated circuit）領域，magnetics（比如電感、變壓器）是很難集成到芯片里面的，如果我們只用電容和transistor搭建一個converter，功率密度（power density）會極大提高！1k-2k W/inch³ 的converter也是有可能做出來的！

舉一個例子，我們來看一個最經典結構： 2-1 ladder switched capacitor converter。其中gate signal：Q1與Q3同時開啟與關閉，Q2與Q4同時開啟與關閉。g1與g2，g3與g3是half bridge，也就是兩對complementary開關的管子。Marek和Dragan在1995年一篇TPE [1] 上提出任何switched capacitor converter都可以建模成一個DC變壓器和一個輸出電阻Ro，DC變壓器的變壓比M代表了converter的conversion ratio，輸出電阻Ro代表了Converter的Loss。這里存在一個所謂的“Fast Switching Limit”和“Slow Switching Limit”問題了。這是什么意思呢？就是說SC converter在不同頻率下代表Loss的Ro是不同的！那么如何求出M和RFSL（Fast Switching Limit Rout）和RSSL（slow Switching Limit Rout）成了我們關心的問題。

Mike.Seeman大神在他MS thesis [2] 里面詳細闡述了這個問題，他用的是charge flow analysis，意思就是求出每個情況下通過各個elements的charge，然后進行M和loss Ro的計算。具體細節我就不贅述了，我自己瞎逼推導了一下，大家隨便看看。

Conversion Ratio M：

Slow Switching Limit：

Fast Switching Limit：

最終，我們把Switched Capacitor Converter進行了簡單的建模：

值得注意的是，Loss Ro的計算只考慮的conduction loss，而且是用平均電流代替了RMS電流來計算loss，沒有考慮switching loss和gating loss，所以這只是一個很粗糙的模型，只是讓我們直觀感受一下converter loss與開關頻率frequency的關系。我們其實希望SC converter工作在FSL范圍內，這樣的loss比SSL內小，但是我們又不希望頻率過高，這樣會帶來其他switching loss和gating loss的損失。

SC Converter的好處例如high power density，利于集成等優點說了很多，但是缺點也是不容忽視的：比如conversion ratio固定，不能regulate output voltage；transient current很大。那么我們有沒有辦法解決這個問題呢？答案是有的，解決的手段就是用hybrid/resonant switched capacitor converter（還記得在第三幅圖中電流源I給電容充電是無損的那個例子嗎？）。在topology方面，我們在SC converter的輸出或輸入端串聯一個傳統的buck或者boost converter，或者在tank里面引入resonant電感，來實現soft charge和regulation。在control方面我們可以有frequency and/or phase shift control。具體細節這里就不再贅述了。

PS. 比起前面花里胡哨的charge flow analysis來分析Loss，Sarah和Jason Stauth大神在COMPEL 2016上提出了switched capacitor和 Hybrid/Resonant Switched-Capacitor Converters的Ro的通式 Ro(fs) ，對 Ro(fs)取fs->0和fs->inf 兩端極限就可以得到“Fast Switching Limit”和“Slow Switching Limit”的Ro了。可謂重劍無鋒，大巧不工，這篇文章獲得了2016 COMPEL最佳文章之一。

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